header-photo

Makalah Distribusi Sampling

Kategori: Materi kuliah
Diposting oleh fathurrahman pada Rabu, 30 Mei 2012
[501 Dibaca] [0 Komentar]Post to TwitterPost to Facebook

BAB I

PEMBAHASAN MATERI

A. PENDAHULUAN

Distribusi sampling adalah distribusi dari mean-mean yang diambil secara berulang kali dari suatu populasi. Bila pada suatu populasi tak terhingga dilakukan pengambilan sampel secara acak berulang-ulang hingga semua sampel yang mungkin dapat ditarik dari populasi tersebut. Sampel yang diambil dari populasi terbatas dan sebelum dilakukan pengambilan sampel berikutnya sampel unit dikembalikan kedalam populasi. Proses ini dilakukan berulang-ulang dalam jumlah yang sangat banyak sehingga dihasilkan sampel :

                         N!

Sebanyak                                buah sampel

                        n!(N-n)!

Bila sampel-sampel yang dihasilkan dihitung rata-ratanya maka akan menghasilkan nilai rata-rata yang berbeda  hingga dapat disusun menjadi suatu distribusi yang disebut distribusi rata-rata sampel.Bila dihitung deviasi standarnya dinamakan deviasi standar distribusi rata-rata sampel atau kesalahan baku rata-rata (standard error rata-rata)

Distribusi sampling merupakan dasar atau langkah awal dalam statistic inferensial sebelum mempelajari teori estimasi, dan uji hipotesis.

Untuk memahami distribusi sampling ini perlu kita ketahui suatu ketentuan yang dapat membedakan beberapa ukuran antara sampel dan populasi

Ukuran-ukuran untuk sampel dan populasi

 

 

 

Nilai (karakteristik)

Sampel

Statistik

Populasi

Parameter

Mean (rata-rata hitung)

X

µ

Standar deviasi jumlah

S

σ

Unit

N

N

           

Untuk mempelajari populasi kita memerlukan sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Meskipun kita dapat mengambil lebih dari sebuah sampel berukuran n dari sebuah populasi berukuran N, pada prakteknya hanya sebuah sampel yang biasa diambil dan digunakan untuk hal tersebut. Sampel yang diambil ialah sampel acak dan dari sampel tersebut nilai-nilai statistiknya dihitung untuk digunakan seperlunya. Untuk ini diperlukan sebuah teori yang dikenal dengan nama distribusi sampling. Distribusi sampling biasanya diberi nama bergantung pada nama statistik yang digunakan. Demikianlah umpamanya kita kenal distribusi sampling rata-rata, distribusi sampling proporsi, distribusi simpangan baku, dan lain-lain. Nama-nama tersebut biasa disingkat lagi berturut-turut menjadi distribusi rata-rata, distribusi proporsi, distribusi simpangan baku, dan lain-lain.

 

1. DISTRIBUSI PENARIKAN SAMPEL

• Jumlah Sampel Acak yang dapat ditarik dari suatu populasi adalah sangat banyak.

• Nilai setiap Statistik Sampel akan bervariasi/beragam antar sampel.

• Suatu statistik dapat dianggap sebagai peubah acak yang besarnya sangat tergantung dari sampel yang kita ambil.

• Karena statistik sampel adalah peubah acak maka ia mempunyai distribusi yang kita sebut sebagai : Distribusi peluang statistik sampel = Distribusi Sampling = Distribusi Penarikan Sampel. Statistik sampel yg paling populer dipelajari adalah Rata-Rata (x)

 

2. DISTRIBUSI RATA-RATA

            Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berkukuran terhingga N dengan parameter rata-rata µ dan simpangan baku σ. Dari populasi ini diambil secara acak berukuran n. Jika sampling dilakukan tanpa pengembalian, kita tahu semuanya ada  buah sampel yang berlainan. Untuk semua sampel yang didapat, masing-masing dihitung rata-ratanya. Dengan demikian diperoleh  buah rata-rata. Anggap semua rata-rata ini sebagai data baru, jadi didapat kumpulan data yang terdiri atas rata-rata dari sampel-sampel. Dari kumpulan ini kita dapat menghitung rata-rata dan simpangan bakunya. Jadi didapat rata-rata daripada rata-rata, diberi simbol µ (baca: mu indeks eks garis), dan simpangan baku daripada rata-rata, diberi simbol σ (baca: sigma indeks eks garis).

Beberapa notasi :

n : ukuran sampel N : ukuran populasi

x : rata-rata sampel μ : rata-rata populasi

s : standar deviasi sampel σ : standar deviasi populasi

μx: rata-rata antar semua sampel

σx : standar deviasi antar semua sampel = standard error = galat baku

Contoh : Diberikan sebuah populasi dengan N=10 yang datanya : 98, 99, 97, 98, 99, 98, 97, 97, 97, 98, 99. Jika dihitung, populasi ini mempunyai µ = 98 dan σ = 0,78. Diambil sampel berukuran n=2 . Semuanya ada  = 45 buah sampel. Untuk setiap sampel kita hitung rata-ratanya. Data dalam tiap sampel dan rata-rata tiap sampel diberikan dalam daftar berikut ini.

 

 

 

Semua Sampel Berukuran n = 2

 Rata-ratanya Diambil dari Populasi Berukuran N = 10

Sampel

Rata-rata

Sampel

Rata-rata

Sampel

Rata-rata

(98,99)

(98,97)

(98,98)

(98,99)

(98,98)

(98,97)

(98,97)

(98,98)

(98,99)

(99,97)

(99,98)

(99,99)

(99,98)

(99,97)

(99,97)

98,5

97,5

98

98,5

98

97,5

97,5

98

98,5

98

98,5

99

98,5

98

98

(99,98)

(99,99)

(97,98)

(97,99)

(97,98)

(97,97)

(97,97)

(97,98)

(97,99)

(98,99)

(98,98)

(98,97)

(98,97)

(98,98)

(98,99)

98,5

99

97,5

98

97,5

97

97

97,5

98

98,5

98

97,5

97,5

98

98,5

(99,98)

(99,97)

(99,97)

(99,98)

(99,99)

(98,97)

(98,97)

(98,98)

(98,99)

(97,97)

(97,98)

(97,99)

(97,98)

(97,99)

(98,99)

98,5

98

98

98,5

99

97,5

97,5

98

98,5

97

97,5

98

97,5

98

98,5

Jumlah semua rata-rata = 4410

 

Jumlah ke-45 buah rata-rata = 4.410. Maka rata-ratanya untuk ke-45 rata-rata ini = = 98.

Jadi µ= 98. Simpangan baku ke-45 rata-rata diatas juga dapat dihitung. Besarnya adalah : σ= 0,52. Tetapi rata-rata populasi µ = 98 dan simpangan baku σ = 0,78. Selanjutnya kita hitung :

 
Ternyata bahwa berlaku :

(1)…..

 

 

 
Jika N cukup besar dibandingkan terhadap n, maka berlaku hubungan :

 (2)…..

 

 

Untuk penggunaan, rumus (2) cukup baik apabila (n/N) ≤ 5%.

Jika sampel acak berukuran n diambil dari sebuah populasi berukuruan N dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ, maka distribusi rata-rata sampel mempunyai rata-rata dan simpangan baku seperti dalam rumus (1) jika (n/N) > 5%, seperti dalam rumus (2) jika (n/N) ≤ 5%. σ dinamakan kekeliruan standar rata-rata atau kekeliruan baku rata-rata atau pula galat baku rata-rata. Ini merupakan ukuran variasi rata-rata sampel sekitar rata-rata populasi µ. σ mengukur besarnya perbedaan rata-rata yang diharapkan dari sampel ke sampel.

Dalil limit pusat :

            Jika sebuah populasi mempunyai rata-rata µ dan simpangan baku σ yang besarnya terhingga, maka untuk ukuran sampel acak n cukup besar, distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata-rata µ = µ dan simpangan baku σ = σ/.

 
Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata-rata perlu distandarkan agar daftar distribusi noramal baku dapat digunakan. Ini perlu untuk perhitungan-perhitungan. Untuk ini digunakan transformasi.

(3)…….

 

 

Contoh :

Tinggi badan mahasiswa rata-rata mencapai 165 cm dan simpangan baku 8,4 cm. Telah diambil sebuah sampel acak terdiri atas 45 mahasiswa. Tentukan berapa peluang tinggi rata-rata ke-45 mahasiswa tersebut : 

a). antara 160 cm dan 168 cm.

b). paling sedikit 166 cm.

Jawab:

Jika ukuran populasi tidak dikatakan besarnya, selalu dianggap cukup besar untuk berlakunya teori. Ukuran sampel n= 45 tergolong sampel besar sehingga dalil limit pusat berlaku. Jadi rata-rata  untuk tinggi mahasiswa akan mendekati distribusi normal dengan :

Rata-rata µ= 165 cm

 Simpangan baku σ=  cm = 1,252 cm.

Dari rumus (3) dengan = 160 cm dan = 168 cm didapat :

Z1 =  = -3,99    dan     Z2 =  = 2,40

Penggunaan daftar distribusi normal baku memberikan luas kurva = 0,5 + 0,4918 = 0,9818. Peluang rata-rata tinggi ke-45 mahasiswa antara 160 cm dan 168 cm adalah 0,9918.

b) Rata-rata tinggi paling sedikit 166 cm memberikan angka z paling sedikit =  = 0,80

Dari daftar normal baku, luas kurva = 0,5-0,2881 =  0,2119. Peluang yang dicari = 0,2119

 

σ≤ d

 
Apabila dari populasi diketahui variansnya dan perbedaan antara rata-rata dari sampel ke sampel diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku hubungan.

(4) ….

 

Dari rumus (4) ini, ukuran sampel yang paling kecil sehubungan dengan distribusi rata-rata, dapat ditentukan.

Contoh : Untuk contoh diatas, misalkan harga-harga dari sampel yang satu dengan sampel yang lainnya diharapkan tidak mau lebih dari 1 cm. Jika populasi cukup besar, maka :

 ≤ d yang menghasilkan  ≤ 1

atau n ≥ 70,58.

Paling sedikit perlu diambil sampel terdiri atas 71 mahasiswa.

 

3. DISTRIBUSI PROPORSI

            Uraian untuk distribusi proporsi sejalan dengan untuk distribusi rata-rata. Misalkan populasi diketahui berukuran N yang didalamnya didapat peristiwa A sebanyak Y di antara N. Maka didapat parameter proporsi A sebesar µ = (Y/N).

            Dari populasi ini diambil sampel acak berukuran n dan dimisalkan didalamnya ada peristiwa A sebanyak x. Sampel ini memberikan statistik proporsi peristiwa A = x/n. Jika semua sampel yang mungkin diambil dari populasi itu maka didapat sekumpulan harga-harga statistik proporsi. Dari kumpulan ini kita dapat menghitung rata-ratanya, diberi simbol µx/n.

            Untuk ini ternyata bahwa, jika ukuran populasi kecil dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni (n/N) > 5%, maka :

 
(5) …..

 

 

dan jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni (n/N) ≤ 5% maka :

 
(6) ….

 

 

 

 σx/n dinamakan kekeliruan baku proporsi atau galat baku proporsi.

Untuk ukuran sampel n cukup besar, berlakulah sifat berikut :

            Jika dari populasi yang berdistribusi binom dengan parameter π untuk peristiwa A, 0 < π < 1, diambil sampel acak berukuran n dimana statistik proporsi untuk peristiwa A (x/n), maka untuk n cukup besar, distribusi proporsi (x/n) mendekati distribusi normal dengan parameter seperti dalam rumus (5) jika (n/N) > 5%, dan seperti dalam rumus (6) jika (n/N) ≤ 5%.

            Seperi dalam distribusi rata-rata, disini pun akan digunakan n ≥ 30 untuk memulai berlakunya sifat di atas. Untuk perhitungan, daftar distribusi normal baku dapat digunakan dan untuk itu diperlukan transformasi :

 
(7) ….

 

σx/n ≤ d

 
            Jika perbedaan antara proporsi sampel yang satu dengan yang lainnya diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku :

(8) ….

 

            Karena σx/n mengandung faktor  π dengan π = parameter populasi, maka rumus (8) berlaku jika parameter π sudah diketahui besarnya. Jika tidak, dapat ditempuh cara konservatif dengan mengambil harga kekeliruan baku atau galat baku yang terbesar, yakni π (1 – π ) = ¼.

Contoh :

Ada petunjuk kuat bahwa 10% anggota masyarakat tergolong ke dalam golongan A. Sebuah sampel acak terdiri atas 100 orang telah diambil.

a). Tentukan peluangnya bahwa dari 100 orang itu akan ada paling sedikit 15 orang dari golongan A.

b). Berapa orang harus diselidiki agar persentase golongan A dari sampel yang satu dengan yang lainnya diharapkan berbeda paling besar dengan 2%?

Jawab:

a). Untuk ukuran sampel 100, diantaranya paling sedikit 15 tergolong kategori A, maka paling sedikit x/n = 0,15. Kekeliruan bakunya adalah :

Bilangan z paling sedikit =  = 1,67

Dari daftar normal baku, luasnya = 0,5 – 0,4525 = 0,0475.

Peluang dalam sampel itu aka nada paling sedikit 15 kategori A adalah 0,0475.

b). Dari rumus (8) dengan π = 0,1 dan 1 – π = 0,9 sedangkan d = 0,02, maka :

 ≤ 0,02 yang menghasilkan n ≥ 225

Paling sedikit sampel harus berukuran 225.

 

4. DISTRIBUSI SIMPANGAN BAKU

Seperti biasa kita mempunyai populasi berukuran N. Diambil sampel-sampel acak berukuran n, lalu untuk tiap sampel dihitung simpangan bakunya, yaitu s. Dari kumpulan ini sekarang dapat dihitung rata-ratanya, diberi simbol  dan simpangan bakunya, diberi simbol .

Jika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka distribusi simpangan baku, untuk n besar, biasanya n ≥ 100, sangat mendekati distribusi normal dengan :

                                                           

                                                           

dengan σ = simpangan baku populasi.

Transformasi yang diperlukan untuk membuat distribusi menjadi normal baku adalah:

                                                           

Distribusi Median

Distribusi median dan juga distribusi statistik lainnya, seperti distribusi kuartil dan distribusi desil tidak akan digunakan di sini.

Jika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka untuk sampel acak berukuran n ≥ 30, distribusi median Me akan meendekati distribusi normal dengan rata-rata µMe dan simpangan baku σMe :

                                                            µMe = µ

                                                            σMe =

dengan µ dan σ merupakan parameter populasi.

 

5. DISTRIBUSI SELISIH DAN JUMLAH RATA-RATA

Misalkan kita mempunyai dua populasi masing-masing berukuran N1 dan N2. Populasi kesatu mempunyai rata-rata µ1 dan simpangan baku σ1 sedangkan populasi kedua mempunyai rata-rata µ2 dan simpangan baku σ2. Dari setiap populasi secara independen kita ambil sampel-sampel acak berukuran n1 dari populasi kesatu dan berukuran n2 dari populasi kedua. Untuk membedakan, populasi kesatu dimisalkan mempunyai variabel X dan populasi kedua mempunyai variabel Y. Dari sampel-sampel ini seperti biasa dihitung rata-ratanya. Didapat kumpulan populasi sampel :

                         ,  , ... ,                     dan                   ,  , ... ,

 

Distribusi Sampling Lainnya

Misalkan kita punya sebuah populasi yang berdistribusi normal atau hampir normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ. Dari populasi tersebut diambil sampel acak berukuran n lalu dihitung rata-rata  dan simpangan baku s.

Sehubungan dengan ini, didapat dua hal berikut :

a) Statistik t, yang ditentukan oleh :

           

Ternyata berdistribusi student dengan derajat kebebasan

b) Statistik  yang ditentukan oleh:

           

dengan  , i = 1, 2, 3, ..., n merupakan sata dalam sampel, akan berdistribusi chi kuadrat dengan derajat kebebasan

Misalkan sekarang kita mempunyai dua buah populasi, masing-masing berdistribusi normal dengan simpangan baku  dan . Dari setiap populasi ini secara independen diambil sebuah sampel acak, masing-masing berukuran  dari populasi kesatu dan berukuran  dari populasi kedua.

Dari sampel kesatu simpangan baku  dihitung, dan demikian pula simpangan baku  dari sampel kedua. Kita bentuk statistik F yang ditentukan oleh :

Ternyata bahwa statistik F ini berdistribusi F dengan dk pembilang  dan dk penyebut .



PDF | DOC | DOCX


Komentar:


belum ada komentar...


Kirim Komentar Anda:

Nama Anda (wajib diisi) E-Mail (tidak dipublikasikan) http:// Website, Blog, Facebook, dll (wajib diisi)


<-- isi kode di atas (wajib diisi)

grinLOLcheesesmilewinksmirkrolleyesconfused
surprisedbig surprisetongue laughtongue rolleyetongue winkraspberryblank starelong face
ohhgrrrgulpoh ohdownerred facesickshut eye
hmmmmadangryzipperkissshockcool smilecool smirk
cool grincool hmmcool madcool cheesevampiresnakeexcaimquestion